দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি 1.3
প্রিয় ছাত্রছাত্রীরা, ডিজিট্যাল পড়াশোনা ওয়েবসাইটে তোমাদের
স্বাগত জানাই। আজকে আমি এই পোস্টে Madhyamik Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3, দ্বিঘাত
সমীকরণ কষে দেখি 1.3 এর সকল প্রশ্নের সমাধান নিয়ে আলোচনা করছি।
Madhyamik Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3
দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি 1.3
Madhyamik Quadratic Equation Koshe Dekhi 1.3
WBBSE Madhyamik Quadratic Equation Koshe Dekhi 1.3
গণিত প্রকাশ সমাধান ক্লাস 10 কষে দেখি 1.3
একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
কষে দেখি 1.3
1. দুটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।
উত্তর:
ধরি, একটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা=`x`
এবং অপর ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা=`x+3`
সংখ্যা দুটির বর্গের সমষ্টি=`x^2+\left(x+3\right)^2`
∴ শর্তানুসারে,
বা, `x^2+\left(x+3\right)^2=117`
বা, `x^2+x^2+6x+9=117`
বা, `2x^2+6x+9=117`
বা, `2x^2+6x+9-117=0`
বা, `2x^2+6x-108=0`
বা, `2\left(x^2+3x-54\right)=0`
বা, `x^2+3x-54=0`
বা, `x^2+9x-6x-54=0`
বা, `x\left(x+9\right)-6\left(x+9\right)=0`
বা, `\left(x+9\right)\left(x-6\right)=0`
হয়, `x+9=0`
∴ `x=-9`
অথবা, `x-6=0`
∴ `x=6`
যেহেতু ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা কখনও ঋণাত্মক পারে না তাই `x=6` হবে।
∴ নির্ণেয় ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা দুটি হল=6, 9
2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 360 বর্গ মিটার হলে, তার উচ্চতা নির্ণয় করি।
উত্তর:
ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা=`x` মিটার।
এবং ত্রিভুজটির ভূমি=`2x+18` মিটার।
ক্ষেত্রফল= `\frac{1}{2}\times x\times(2x+18)`বর্গ মিটার।
= `\frac{2x\left(x+9\right)}2` বর্গ মিটার।
= `x\left(x+9\right)` বর্গ মিটার।
∴ শর্তানুসারে,
বা, `x\left(x+9\right)=360`
বা, `x^2+9x=360`
বা, `x^2+9x-360=0`
বা, `x^2+24x-15x-360=0`
বা, `x\left(x+24\right)-15\left(x+24\right)=0`
বা, `\left(x+24\right)\left(x-15\right)=0`
হয়, `x+24=0`
∴ `x=-24`
অথবা, `x-15=0`
∴ `x=15`
যেহেতু উচ্চতা কখনও ঋণাত্মক পারে না তাই `x=15` হবে।
∴ ত্রিভুজটির উচ্চতা=15 মিটার।
3. যদি একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি।
উত্তর:
ধরি, অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি হল =x
∴ শর্তানুসারে,
বা, `5x=2x^2-3`
বা, `2x^2-3=5x`
বা, `2x^2-5x-3=0`
বা, `2x^2-6x+x-3=0`
বা, `2x\left(x-3\right)+1\left(x-3\right)=0`
বা, `\left(x-3\right)\left(2x+1\right)=0`
হয়, `x-3=0`
∴ `x=3`
অথবা, `2x+1=0`
বা, `2x=-1`
∴ `x=-\frac{1}{2}`
যেহেতু অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা কখনও ঋণাত্মক পারে না তাই x=3 হবে।
∴ অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি হল=3।
4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি.; এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘন্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপগাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি. বেশি হলে, মোটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
উত্তর:
ধরি, মোটর গাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় = x কিমি.
∴ জিপ গাড়ির গতিবেগ = (x+5) কিমি./ ঘন্টা
এখন, 200 কিমি. যেতে মোটর গাড়ির সময় লাগে =`\frac{200}{x}` ঘন্টা
এবং 200 কিমি. যেতে জিপ গাড়ির সময় লাগে=`\frac{200}{x+5}` ঘন্টা
∴ শর্তানুসারে,
বা, `\frac{200}{x}-\frac{200}{x+5}=2`
বা, `200\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}\right)=2`
বা, `\left(\frac1{x}-\frac1{x+5}\right)=\frac2{200}`
বা, `\frac{x+5-x}{x\left(x+5\right)}=\frac1{100}`
বা, `\frac5{x^2+5x}=\frac1{100}`
বা, `x^2+5x=500`
বা, `x^2+5x-500=0`
বা, `x^2+25x-20x-500=0`
বা, `x\left(x+25\right)-20\left(x+25\right)=0`
বা, `\left(x+25\right)\left(x-20\right)=0`
হয়, `x+25=0`
∴ `x=-25`
অথবা, `x-20=0`
∴ `x=20`
যেহেতু গতিবেগ কখনও ঋণাত্মক পারে না তাই x=20 হবে।
∴ মোটর গাড়ির গতিবেগ=20 কিমি./ঘন্টা।
5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গ মিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
উত্তর:
ধরি, আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য = x মিটার।
∴ প্রস্থ = `\left(\frac{180}2-x\right)` মিটার `=\left(90-x\right)` মিটার
আবার আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল = `x\left(90-x\right)` বর্গ মিটার
∴ শর্তানুসারে,
বা, `x\left(90-x\right)=2000`
বা, `90x-x^2=2000`
বা, `-x^2+90x-2000=0`
বা, `-\left(x^2-90x+2000\right)=0`
বা, `x^2-90x+2000=0`
বা, `x^2-50x-40x+2000=0`
বা, `x\left(x-50\right)-40\left(x-50\right)=0`
বা, `\left(x-50\right)\left(x-40\right)=0`
হয়, `x-50=0`
∴ `x=50`
অথবা, `x-40=0`
∴ `x=40`
যেহেতু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফল 90 মিটার এবং দৈর্ঘ্য সর্বদা প্রস্থ অপেক্ষা বড়ো, তাই এক্ষেত্রে x=50 মিটার (কারণ x=40 মিটার হলে, প্রস্থ 50 মিটার হয়ে যাবে)।
∴ আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য = 50 মিটার এবং প্রস্থ = 40 মিটার।
6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।
উত্তর:
ধরি, সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = `x`
এবং সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = `x-3`
∴ সংখ্যাটি হল = `10\times\left(x-3\right)+x` `=10x-30+x` `=11x-30`
∴ শর্তানুসারে,
বা, `\left(11x-30\right)-x\left(x-3\right)=15`
বা, `11x-30-x^2+3x-15=0`
বা, `-x^2+14x-45=0`
বা, `-\left(x^2-14x+45\right)=0`
বা, `x^2-14x+45=0`
বা, `x^2-9x-5x+45=0`
বা, `x\left(x-9\right)-5\left(x-9\right)=0`
বা, `\left(x-9\right)\left(x-5\right)=0`
হয়, `x-9=0`
∴ `x=9`
অথবা, `x-5=0`
∴ `x=5`
∴ সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক = 5, 9।
7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি `11\frac1{9}` মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নল দুটি আলাদাভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি।
উত্তর:
ধরি, সমগ্র চৌবাচ্চা = 1 অংশ।
এবং প্রথম নলটি `x` মিনিটে পূর্ণ করে = 1 অংশ
∴ প্রথম নলটি 1 মিনিটে পূর্ণ করে = `\frac1{x}` অংশ
আবার, দ্বিতীয় নলটি `\left(x+5\right)` মিনিটে পূর্ণ করে = 1 অংশ
∴ দ্বিতীয় নলটি 1 মিনিটে পূর্ণ করে = `\frac1{\left(x+5\right)}` অংশ
এখন দুটি নল 1 মিনিটে পূর্ণ করে = `\frac1{x}+\frac1{\left(x+5\right)}` অংশ
∴ দুটি নল `11\frac1{9}` মিনিটে পূর্ণ করে = `11\frac1{9}\times\left(\frac1x+\frac1{\left(x+5\right)}\right)` অংশ
∴ শর্তানুসারে,
বা, `11\frac1{9}\times\left(\frac1x+\frac1{\left(x+5\right)}\right)=1`
বা, `\frac{100}9\times\left(\frac1x+\frac1{\left(x+5\right)}\right)=1`
বা, `\left(\frac1x+\frac1{\left(x+5\right)}\right)=\frac9{100}`
বা, `\frac{x+5+x}{x\left(x+5\right)}=\frac9{100}`
বা, `\frac{2x+5}{x\left(x+5\right)}=\frac9{100}`
বা, `9x\left(x+5\right)=100\left(2x+5\right)`
বা, `9x^2+45x=200x+500`
বা, `9x^2+45x-200x-500=0`
বা, `9x^2-155x-500=0`
বা, `\9x^2-180x+25x-500=0`
বা, `9x\left(x-20\right)+25\left(x-20\right)=0`
বা, `\left(x-20\right)\left(9x+25\right)=0`
হয়, `x-20=0`
∴ `x=20`
অথবা, `9x+25=0`
বা, `9x=-25`
∴ `x=-\frac{25}9`
যেহেতু সময় কখনও ঋণাত্মক পারে না তাই `x=20` হবে।
∴ প্রথম নলটি 20 মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে এবং দ্বিতীয় নলটি `\left(20+5\right)=25` মিনিটে পূর্ণ করে।
8. পর্ণা ও পীযূষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীযূষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
উত্তর:
ধরি, মোট কাজের পরিমান = 1 অংশ।
এবং পর্ণা একাকী `x` দিনে কাজ করে = 1 অংশ
∴ পর্ণা 1 দিনে কাজ করে = `\frac1{x}` অংশ
আবার, পীযূষ একাকী `\left(x+6\right)` দিনে কাজ করে = 1 অংশ
∴ পীযূষ 1 দিনে কাজ করে = `\frac1{x+6}` অংশ
∴ পর্ণা ও পীযূষ একত্রে 1 দিনে কাজ করে = `\frac1{x}+\frac1{x+6}` অংশ
∴ শর্তানুসারে,
বা, `\frac1{x}+\frac1{x+6}=\frac1{4}`
বা, `\frac{x+6+x}{x\left(x+6\right)}=\frac1{4}`
বা, `\frac{2x+6}{x^2+6x}=\frac1{4}`
বা, `x^2+6x=4\left(2x+6\right)`
বা, `x^2+6x=8x+24`
বা, `x^2+6x-8x-24=0`
বা, `x^2-2x-24=0`
বা, `x^2-6x+4x-24=0`
বা, `x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)=0`
বা, `\left(x-6\right)\left(x+4\right)=0`
হয়, `x-6=0`
∴ `x=6`
অথবা, `x+4=0`
∴ `x=-4`
যেহেতু সময় কখনও ঋণাত্মক পারে না তাই `x=6` হবে।
∴ পর্ণা একাকী কাজটি করতে পারবে 6 দিনে।
9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি।
উত্তর:
ধরি, প্রতি ডজন কলমের দাম = `x` টাকা।
এখন, `x` টাকায় কলম পাওয়া যায় = 12 টি
1 টাকায় কলম পাওয়া যায় = `\frac{12}x` টি
∴ 30 টাকায় কলম পাওয়া যায়= `\frac{12\times30}x` টি = `\frac{360}x` টি
আবার, দাম কমে যাওয়ার পর প্রতি ডজন কলমের দাম = `\left(x-6\right)` টাকা
এখন, `\left(x-6\right)` টাকায় কলম পাওয়া যায় = 12 টি
1 টাকায় কলম পাওয়া যায় = `\frac{12}{\left(x-6\right)}` টি
∴ 30 টাকায় কলম পাওয়া যায়= `\frac{12\times30}{\left(x-6\right)}` টি = `\frac{360}{\left(x-6\right)}` টি
∴ শর্তানুসারে,
বা, `\frac{360}{\left(x-6\right)}-\frac{360}x=3`
বা, `360\times\left(\frac1{\left(x-6\right)}-\frac1x\right)=3`
বা, `\frac1{\left(x-6\right)}-\frac1x=\frac3{360}`
বা, `\frac{x-x+6}{x\left(x-6\right)}=\frac1{120}`
বা, `\frac6{x^2-6x}=\frac1{120}`
বা, `x^2-6x=720`
বা, `x^2-6x-720=0`
বা, `x^2-30x+24x-720=0`
বা, `x\left(x-30\right)+24\left(x-30\right)=0`
বা, `\left(x-30\right)\left(x+24\right)=0`
হয়, `x-30=0`
∴ `x=30`
অথবা, `x+24=0`
∴ `x=-24`
যেহেতু কলমের মূল্য কখনও ঋণাত্মক পারে না তাই `x=30` হবে।
∴ প্রতি ডজন কলমের দাম 30 টাকা।
10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা - (b) দুটি।
(ii) `ax^2+bx+c=0` দ্বিঘাত সমীকরণ হলে- (c) `a\ne0`
(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত - (b) 2
(iv) `4\left(5x^2-7x+2\right)=5\left(4x^2-6x+3\right)` সমীরকণটি - (a) রৈখিক
(v) `\frac{x^2}x=6` সমীকরণটির বীজ/বীজদ্বয় - (c) 0 ও 6
(B) নিচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) `\left(x-3\right)^2=x^2-6x+9` একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। (মিথ্যা)
(ii) `x^2=25` সমীকরণটির একটি মাত্র বীজ 5 (মিথ্যা)
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) যদি `ax^2+bx+c=0` সমীকরণটির a=0 এবং `b\ne0` হয়, তবে সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণ।
(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো `x^2-2x+1`
(iii) `x^2=6x` সমীকরণটির বীজদ্বয় 0 ও 6
11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) `x^2+ax+3=0` সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, `a`-এর মান নির্ণয় করি।
উত্তর: `x^2+ax+3=0` সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে,
`\left(1\right)^2+a\left(1\right)+3=0`
বা, `1+a+3=0`
বা, `a+4=0`
∴ `a=-4`
(ii) `x^2-\left(2+b\right)x+6=0` সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
উত্তর: ধরি, অপর বীজ = `a`,
`2a=6` (কারণ, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল `\frac c{a}`)
বা, `a=\frac6{2}`
∴ `a=3`
∴ অপর বীজটি হল = 3
(iii) `2x^2+kx+4=0` সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
উত্তর: ধরি, অপর বীজ = `a`,
`2a=\frac4{2}` (কারণ, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল `\frac c{a}`)
বা, `2a=2`
∴ `a=1`
∴ অপর বীজটি হল = 1
(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অন্যোন্যকের অন্তর `\frac9{20}`, সমীকরণটি লিখি।
উত্তর: ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি হল = `x`
∴ তার অন্যোন্যক = `\frac1{x}`
∴ শর্তানুসারে,
বা, `x-\frac1{x}=\frac9{20}`
বা, `\frac{x^2-1}x=\frac9{20}`
বা, `20x^2-20=9x`
বা, `20x^2-9x-20=0`
∴ সমীকরণটি হল = `20x^2-9x-20=0`
(v) `ax^2+bx+35=0` সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7 হলে, a এবং b -এর মান লিখি।
উত্তর:
`\left(-5\right)\times\left(-7\right)=\frac{35}a` (কারণ, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল `\frac c{a}`)
বা, `35=\frac{35}a`
∴ `a=1`
আবার, `-5+\left(-7\right)=-\frac b{a}` (কারণ, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল `-\frac b{a}`)
বা, `-5-7=-\frac b{1}`
বা, `-12=-b`
∴ `b=12`
∴ a-এর 1 মান এবং b-এর মান 12
👉 এই পোস্টে সমাধান করা সকল প্রশ্নের সমাধান ও ব্যাখ্যা সম্পর্কে তোমার কোনো মতামত থাকলে নীচে কমেন্টের মাধ্যমে আমাদের জানাও।